145 is a curious number, as 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.
Find the sum of all numbers which are equal to the sum of the factorial of their digits.
Note: As 1! = 1 and 2! = 2 are not sums they are not included.
数字阶乘和
145 是个有趣的数，因为 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145。
找出所有各位数字的阶乘和等于其本身的数，并求它们的和。
注意：因为 1! = 1 和 2! = 2 不是和的形式，所以它们并不在讨论范围内。
9 的阶乘为 362880，假设数字的位数为 n，那么可由 \(n \cdot 9! \gt 10^n - 1\) 来确定 n 的范围。易知当 n 约为 5.2 时指数函数的导数大于 9!，即 \(ln10 \cdot 10^n > 9!\)。我们只需要找到 n 在大于等于 6 时使得第一个不等式不成立即可。
\[6 \cdot 9! = 2177280 \gt 999999\]
\[7 \cdot 9! = 2540160 \lt 9999999\]
因此，满足题目要求的数必小于 9999999，也就是说最大只能是 7 位数。
(defun eu34-getfac (n)
(let ((digls))
(while (/= n 0)
(push (% n 10) digls)
(setq n (/ n 10)))
(cl-reduce
'+
(mapcar (lambda (n)
(let ((res 1))
(while (/= n 0)
(setq res (* res n))
(cl-decf n))
res))
digls))))
(let ((res))
(cl-loop
for i from 3 to 9999999
do (when (= i (eu34-getfac i))
(push i res)))
res)
=> (40585 145)
(+ 40585 145) => 40730由于本题只涉及到 1 到 9 阶乘的运算，上面的代码还可以稍作改进：
(defun eu34-getfac-2 (n)
(let ((fv [1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800])
(res 0))
(while (/= n 0)
(cl-incf res (aref fv (% n 10)))
(setq n (/ n 10)))
res))
(let ((res))
(cl-loop
for i from 3 to 9999999
do (when (= i (eu34-getfac-2 i))
(push i res)))
res)
=> (40585 145)当然正如答案可见，不超过五位数，也许还能进行进一步的分析。