在数学中，线性微分方程由一个未知函数及其导数的线性多项式组成，方程形式为：
\(a_{\rm 0}(x)y + a_{1}(x)y^{'} + a_{2}(x)y^{''} + ... + a_{n}(x)y^{(n)} + b(x) = 0\)
其中，\(a_{0}(x), ..., a_{n}(x)\) 和 \(b(x)\) 是任意的可微函数，它们不必是线性的，\(y^{'}, ..., y^{(n)}\) 是未知函数 y 对变量 x 的连续求导。
该方程中的最高阶导数被称为方程的阶数，\(b(x)\) 有时被称为方程的 常数项 ，即便它可能不是一个常数方程。如果常数项是 0，那么这个微分方程就是齐次的，因为它是由未知函数和它的导数组成的其次多项式。将一个线性微分方程的常数项用 0 替换得到的齐次方程被称为原方程的 关联齐次方程 。
这是一个常微分方程（ODE），线性微分方程也可以是偏微分方程（PDE）。
对于一个线性微分方程，如果它的关联齐次方程是常系数的，那么它的解就可能通过积分形式表示出来。一阶变系数线性微分方程的解也可以表示为积分形式。二阶或高阶变系数线性微分方程则没有一般的解法。
常系数线性齐次方程的形式为
\(a_{0}y + a_{1}y^{'} + a_{2}y^{''} + ... + a_{n}y^{(n)} = 0\)
其中 \(a_{0}, ..., a_{n}\) 是（实数或复数）数字。
对这类微分方程的研究可以追溯到欧拉，他引入了指数函数 \(e^{x}\) ，\(e^{x}\) 是方程 \(f^{'} = f, f(0) = 1\) 的唯一解。\(e^{cx}\) 的 n 阶导数是 \(c^{n}e^{cx}\) ，这个性质使得线性齐次方程的求解变得非常简单。
\(a_{0}y + a_{1}y^{'} + a_{2}y^{''} + ... + a_{n}y^{(n)} = 0\) 是一个常系数线性齐次方程，寻找具有 \(e^{ax}\) 形式的解等价于找到使的下列方程成立的 \(\alpha\) ：
\(a_{0}e^{\alpha x} + a_{1}\alpha e^{\alpha x} + a_{2}\alpha^{2}e^{\alpha x} + ... + a_{n}\alpha^{n}e^{\alpha x} = 0\)
提取公因数 \(e^{\alpha x}\) ，就可知， \(\alpha\) 必定是原方程的特征多项式 \(a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2} + ... + a_{n}t^{n}\) 的一个根。
当这些根都是分立的（没有重根）时，这些解可以以线性无关的形式表示出来，它们组成了一个微分方程解的向量空间的一组基。
存在重根时，需要更多的线性无关解来组成基，它们的形式为 \(x^{k}e^{\alpha x}\) 。其中，k 是一个非负整数，\(\alpha\) 是特征多项式的 m 重根，且有 \(k < m\) 。
要证明这一性质，注意到 \(\alpha\) 是特征多项式的 m 重根，特征多项式可以写成 \(P(t)(t - \alpha)^{m}\) 。因此，将微分算子作用于微分方程等价于先将算子 \(\frac{d}{dx} - \alpha\) 作用于方程 m 次，再将 Ｐ 作为特征多项式，继续求解其他的单根或重根。
由 \((\frac{d}{dx} - \alpha)(x^{k}e^{\alpha x}) = kx^{k - 1}e^{\alpha x}\) 可知，将 \(\frac{d}{dx} - \alpha\) 算子对 \(x^{k}e^{\alpha x}\) 应用 k + 1 次后，得到的结果为 0。（由于 \(x^{k}e^{\alpha x}\) 中的 k 一定小于 m，故经过 m 次算子应用后，结果必为 0）
例如，线性微分方程 \(y^{''''} - 2y^{'''} + 2y^{''} - 2y^{'} + y = 0\) ，它的特征方程为 \(z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1 = 0\) ，方程的解分别为 \(i, -i, 1\) ，其中 1 为 二重根，由此可知，原方程也可写作：\((\frac {d}{dx} + i)(\frac {d}{dx} - i)(\frac {d}{dx} - 1)^{2}y = 0\) ，取 \(y = e^{x}\,和\, y = xe^{x}\) 时，\((\frac{d}{dx} - 1)^{2}y\) 都为 0，这就说明了上述性质。该齐次方程的解空间的基为 { \(e^{ix}, e^{-ix}, e^{x}, xe^{x}\) }。
当方程系数都是实数时，将基全部表示为实值函数更为方便。如果 \(a + ib\) 是特征多项式的一个根的话，\(a - ib\) 也是一个根（和 \(a + ib\) 具有相同的重数）。因此，可以通过欧拉公式来得到实函数基，\(x^{k}e^{(a + ib)x}\) 和 \(x^{k}e^{(a - ib)x}\) 可用 \(x^{k}e^{ax}cos(bx)\) 和 \(x^{k}e^{ax}sin(bx)\) 代替。上面例子中的 \(e^{ix}, e^{-ix}\) 可以用 \(cos(x), sin(x)\) 替代。
常系数 n 阶非齐次方程的形式为：
\(y^{(n)}(x) + a_{1}y^{(n - 1)}(x) + ... + a_{n - 1}y^{'}(x) + a_{n}y(x) = f(x)\)
其中，\(a_{1}, ..., a_{n}\) 是实数或复数，\(f\) 是给定的 x 的函数，\(y\) 未知函数。
有多种方式来解这个方程，最好的方式是依赖 \(f\) 使该方程称为非齐次的自然性质。如果 \(f\) 是指数函数，多项式，正弦函数或它们的线性组合，那么就可以使用指数响应公式（exponential response formula)(ERF)进行求解。更一般地，如果 \(f\) 是 \(x^{n}e^{ax}, x^{n}cos(ax), x^{n}sin(ax) (n \in N, a \, is \, const)\) 的线性组合，可以使用待定系数法（method of undetermined coefficients）。更更一般地，如果 \(f\) 是 holonomic funciton 的话，可以使用 annihilator method （零子化）。
最一般的方法是常数变易法（variation of constants）。
ERF 适应于求解常系数非齐次线性常微分方程，方程的常数项为正弦函数，指数函数或二者之线性组合。
如果非齐次方程的常数项可以写成 \(f(t) = B_{1}e^{\gamma _{1}t} + B_{2}e^{\gamma _{2}t} + ... + B_{n}e^{\gamma _{n}t}\) ，其中 \(B, \gamma\) 是实数或复数，那么 ERF 就是适用的。
当常数项为三角函数形式时，可以使用欧拉公式变为指数形式进行求解，求解完毕后取实数项或复数项作为结果。
当时不变（time-invariant）系统是线性的，那么它就叫做线性时不变系统（LTI system）。
考虑下面的 n 阶线性常微分方程
\(a_{n}\frac{d^{n}y}{dt^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y}{dt^{n - 1}} + ... + a_{1}\frac{dy}{dt} + a_{0}y = f(t)\)
设记号：
\(L = a_{n}D^{n} + a_{n - 1}D^{n - 1} + ... + a_{1}D^{1} + a_{0}I,\)
\(D^{k} = \frac{d^{k}}{dt^{k}} (k = 1, 2, ..., n)\)
其中 \(a_{0}, ..., a_{n}\) 为常系数。这就得到了算子 \(L\) ，它被称为 LTI 算子。\(L\) 可从特征多项式得到，\(P(s) = a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + ... + a_{0}\) ，使用 \(D\) 替换掉其中的 \(s\) 。
\(L = P(D)\)
\(P(D) = a_{n}D^{n} + a_{n - 1}D^{n - 1} + ... + a_{0}I\)
这样一来，前面的方程就可以写成
\(P(D)y = f(t)\)
考虑上面的 LTI 微分方程，当输入为 \(f(t) = Be^{\gamma t}\) 时，可以得到一个特解：
\(y_{p} = \frac{Be^{\gamma t}}{P(\gamma)}, P(\gamma) \not= 0\)
证明：
因为算符 \(P(D)\) 的线性特性，方程 \(P(D)y = f(t)\) 的左边可以写成
\(P(D)y_{p} = P(D)(\frac{Be^{\gamma t}}{P(\gamma)}) = \frac{B}{P(\gamma)}P(D)(e^{\gamma t})\)
因为 \(P(D)(e^{\gamma t}) = P(\gamma)e^{\gamma t}\) \((\frac{d^{n}}{dt^{n}}e^{at} = a^{n}e^{at})\)
进行替换，可以得到：
\(P(D)y_{p} = P(D)(\frac{Be^{\gamma t}}{P(\gamma)}) = \frac{B}{P(\gamma)}P(D)(e^{\gamma t})= \frac{B}{P(\gamma)}P(\gamma)e^{\gamma t} = Be^{\gamma t}\)
证毕。
特别地，当 \(P(\gamma) = 0\) 时，\(P(D)y = f(t)\) 的一个解为
\(y_{p} = \frac{Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma)},P'(\gamma)\not= 0\)
ERF 的一般形式：
对于 \(P(\gamma) = P^{'}(\gamma) = ... P^{(k - 1)}(\gamma) = 0, P^{(k)}(\gamma) \not= 0\) 的情况
\(y_{p}(t) = \frac{Bt^{k}e^{\gamma t}}{P^{(k)}(\gamma)}\)
待定系数法（method of undetermined coefficients）是一种求某些种类非齐次常微分方程和差分方程（recurrence relation）的方法。它不如常数变易法普遍，因为它只能求取几种特定形式的微分方程。
相比于使用特殊类型的微分算子来找到特殊解的最可能的形式，待定系数法使用“猜想”来找到合适的形式，之后再将结果带入方程进行验证。
考虑下面形式的非齐次常微分方程
\(\sum_{i = 0}^{n} c_{i}y^{(i)} + y^{(n + 1)} = g(x)\)
其中 \(c_{i}\) 表示实数或复数。
这个方法由两部分组成。首先，找到关联齐次方程 \(\sum_{i = 0}^{n} c_{i}y^{(i)} + y^{(n + 1)} = 0\) 的解 \(y_{c}\) ，其次，找到基于 \(g(x)\) 的特解 \(y_{p}\) 。之后，完全解解可以表示为 \(y = y_{c} + y_{p}\) 。
如果 \(g(x)\) 是两个函数 \(h(x), w(x)\) 的和函数，且 \(y_{p1}\) 是基于 \(h(x)\) 的特解，\(y_{p2}\) 是基于 \(w(x)\) 的特解，则 \(g(x)\) 的特解为 \(y_{p} = y_{p1} + y_{p2}\) 。
特解的典型形式
| x 的函数 | 特解的形式 |
|---|---|
| \(ke^{ax}\) | \(Ce^{ax}\) |
| \(kx^{n}, n = 0, 1, 2\) | \(\sum_{i = 0}^{n}K_{i}x^{i}\) |
| \(kcos(ax)\, or \,ksin(ax)\) | \(Kcos(ax) + Msin(ax)\) |
| \(ke^{ax}cos(bx) \, or \, ke^{ax}sin(bx)\) | \(e^{ax}(Kcos(bx) + Msin(bx))\) |
| \((\sum_{i = 0}^{n}k_{i}x^{i})cos(bx) \, or \, (\sum_{i = 0}^{n}k_{i}x^{i})sin(bx)\) | \((\sum_{i = 0}^{n}Q_{i}x^{i})cos(bx) + (\sum_{i = 0}^{n}R_{i}x^{i})sin(bx)\) |
| \((\sum_{i = 0}^{n}k_{i}x^{i})e^{ax}cos(bx) \, or \, (\sum_{i = 0}^{n}k_{i}x^{i})e^{ax}sin(bx)\) | \(e^{ax}((\sum_{i = 0}^{n}Q_{i}x^{i})cos(bx) + (\sum_{i = 0}^{n}R_{i}x^{i})sin(bx))\) |
常数变易法（variation of parameters）（variation of constants）是一种求解非齐次线性常微分方程的普遍方法。
方法描述
考虑 n 阶非齐次线性微分方程
\(y^{n}(x) + \sum_{i = 0}^{n - 1}a_{i}(x)y^{(i)}(x) = b(x) \quad (1)\)
令 \(y_{1}(x), ..., y_{n}(x)\) 为对应的齐次方程的基础解系
\(y^{(n)}(x) + \sum_{i = 0}^{n - 1}a_{i}(x)y^{(i)}(x) = 0 \quad (2)\)
非齐次方程的一个特解可以这样给出
\(y_{p}(x) = \sum_{i}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x) \quad (3)\)
其中，\(c_{i}(x)\) 是满足下列条件的可微函数
\(\sum_{i = 1}^{n}c_{i}^{'}(x)y_{i}^{j}(x) = 0, j = 0, ..., n - 2 \quad (4)\)
从 \((3)\) 开始，重复使用 \((4)\) ，得到
\(y_{p}^{(j)}(x) = \sum_{i = 1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x), j = 0, ..., n - 1 \quad (5)\)
最后得到
\(y_{p}^{(n)}(x) = \sum_{i = 1}^{n}c_{i}^{'}(x)y_{i}^{(n - 1)}(x) + \sum_{i = 1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x) \quad (6)\)
将 \((3)\) 代入 \((1)\) ，并将使用 \((5) (6)\) ，得到
\(\sum_{i = 1}^{'}(x)y_{i}^{(n - 1)}(x) = b(x) \quad (7)\)
接下来可以通过克莱姆法则求解线性系统，得到
\(c_{i}^{'} = \frac{W_{i}(x)}{W(x)}, i = 1, ..., n\)
特解为
\(\sum_{i = 1}^{n}y_{i}(x) \int \frac{W_{i}(x)}{W(x)}dx\)
一阶线性常微分方程的一般形式为
\(y^{'}(x) = f(x)y(x) + g(x)\)
当该方程为齐次形式时（\(g(x)\) 为零函数），方程可以写作
\(\frac{y^{'}}{y} = f\)
简单积分得到 \(log(y) = F + k\) ，其中 \(k\) 是积分常数，\(F = \int fdx\) 是 \(f\) 的不定积分。齐次方程的一般解可以写成 \(y = ce^F, c = e^k\) 。
求解非齐次方程时，可以对整个方程乘上一个齐次方程的解 \(e^{-F}\) ，得到
\(y^{'}e^{-F} - yfe^{-F} = ge^{-F}\)
由 \(-fe^{-F} = \frac{d}{dx}(e^{-F})\) , 可将方程写成
\(\frac{d}{dx}(ye^{-F}) = ge^{-F}\)
积分得
\(y = ce^{F} + e^{F}\int ge^{-F}dx\)
除了以上这种方法之外，还可以使用常数变易法进行推导。
设方程为 \(y^{'} + p(x)y = q(x)\)
它的对应齐次方程为 \(y^{'} + p(x)y = 0\)
齐次方程的解法有很多，比如上面用到的分离变量，利用上面的结果，齐次方程的解为
\(y_{c} = C_{0}e^{- \int p(x)dx }\)
使用常数变易法，特解可以写成通解与未知函数 \(C(x)\) 乘积的形式
\(y_{p} = C(x)e^{- \int p(x)dx}\)
通过将特解代入非齐次方程，我们来求解 \(C(x)\)
\(C^{'}(x)e^{- \int p(x)dx} - C(x)p(x)e^{- \int p(x)dx} + p(x)C(x)e^{- \int p(x)dx} = q(x)\)
由上式可得
\(C^{'}(x)e^{- \int p(x)dx} = q(x)\)
从而
\(C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx} + C_{1}\)
我们只需要一个特解，故我们可以取 \(C_{1} = 0\) ，特解为
\(y_{p} = e^{- \int p(x)dx} \int q(x)e^{\int p(x) dx} dx\)
最终结果为
\(y = y_{c} + y_{p} =\)
\(C_{0}e^{\int p(x)dx} + e^{- \int p(x)dx}\int q(x)e^{p(x)dx}dx\)
柯西-欧拉方程（Cauchy-Eular equation）也叫欧拉-柯西方程（Euler-Cauchy equation），或直接称为欧拉方程。它是一个线性齐次常微分方程。具有以下形式
\(a_{n}x^{n}y^{(n)}(x) + a_{n - 1}x^{n - 1}y^{(n - 1)}(x) + ... + a_{0}y(x) = 0\)
它有平凡解 \(y = x^m\) ，\(m\) 易求得。
- 《信号分析与处理》—— 马立玲 沈伟
- 线性微分方程：https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
- 指数响应公式：https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_response_formula
- 待定系数法：https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients
- 零子化：[^1]https://en.wikipedia.org/wiki/Annihilator_method
- 常数变易法：https://en.wikipedia.org/wiki/Variation_of_parameters
- 柯西-欧拉方程：https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Euler_equation