今日在计算习题时遇到了 \(\int_{}^{}dx/ch^3x\) 的积分， 由于一个寒假没有碰过数学书的缘故， 算了将近一个小时也不见结果， 上网百度也只有常见的双曲函数积分，实在无奈。 又花了将近半个小时，终于推出了结果（还是间接推出来的，唉），接着又用了将近两个小时推出一般公式。现在附上推导过程和最后的递推公式。
部分地方的表达可能不太规范（没有写积分常数云云…）。
如果你也因为相同的原因上网搜索相应公式，而看到这点笔记，希望有所帮助，如有错误，希望向我指出。
不想听我废话的可以跳到这里。
首先看一道物理题：
在宇宙中， 有两个各为 1kg 的小球，相距 1m，若周围没有任何物体，两小球在引力的作用下相互靠近，问两小球接触需要花多久？
很明显，由题目的描述，可以列出几个方程。
\(l = len - 2 \times s\)
由万有引力定律， 两者之间的引力大小为：
\(F = \frac{G\times m^{2}}{l^{2}}\)
加速度大小为路程对时间的二阶导数，则：
\(a = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}\)
再由牛顿第二定律，则有：
\(\frac{F}{m} = a\) , 也就是 \(\frac{G \times m}{(len - 2 \times s)^{2}} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}\)
得到了一个微分方程，首先让它变成一阶的，得到：
\(\sqrt {\frac{len - 2 \times s}{s}}ds = \sqrt{G \times m}dt\)
解这个方程的左边时，我手贱地使用了换元，先令 \(t = \sqrt {\frac{len - 2 \times s}{s}}\), 得到 \(s = \frac {1}{t^{2} + 2}\) (len 等于 1 ，下面都直接写成了数字), 左边变为：\(\frac {-2t^{2}}{(t^{2}+2)^2}dt\) 。
再双曲变换一下，令 \(t = \sqrt 2sh\theta\), 得到 \(\sqrt 2 (\frac{1}{ch^{3} \theta} - \frac{1}{ch\theta})d\theta\) ，
\(\int_{}{} \frac{1}{ch\theta}d\theta\) 很简单， 但是前一个我实在无能为力…… 后来突然想起来还有分部积分大法，一下子就积分积出了左式。直接得到：
\(K(s)=\int{}{}\sqrt {\frac{1 - 2s}{s}}ds = \sqrt {s - 2\times s^{2}} +\frac{1}{ 2\sqrt 2}arcsin(4s - 1)\) 。
这样一来，这个问题也就解决了：
\(K(\frac {1}{2}) -K(0)\) = \(\int_{0}^{t} \sqrt{G\times m}dt =\sqrt{G \times m}\times t\)，得到 \(t = \frac {\pi}{2 \sqrt{2Gm}}\) ， 终于做出来了（大约需要 26.7 个小时…）。
既然公式都推导出来了，现在就可以间接得到 \(\int_{}{} \frac {1}{ch^{3}\theta}d\theta\) 了。
由 \(s = \frac {1}{t^{2} + 2}\) 和 \(t = \sqrt 2sh\theta\) ，可以得到 \(s = \frac {1}{2ch^{2}\theta}\) , 那么：
\(\sqrt {s - 2\times s^{2}} +\frac{1}{ 2\sqrt 2}arcsin(4s - 1) = \frac{sh\theta}{\sqrt2ch^{2}\theta}+ \frac{1}{2\sqrt2}arcsin(\frac{2}{ch^{2}\theta}-1)\)
\(\int_{}{}\sqrt 2 (\frac{1}{ch^{3} \theta} - \frac{1}{ch\theta})d\theta = -\sqrt2arcsin(th\theta)+\sqrt2 \int_{}{}\frac{1}{ch^{3}\theta}d\theta\)
由这两个式子，我终于得到了那个梦寐以求的式子：
\(\int_{}{} \frac{1}{ch^{3}\theta}d\theta = \frac {sh \theta}{2ch^{2}\theta}+arcsin(th\theta)+\frac{1}{4}arcsin(\frac{2}{ch^{2}\theta}-1)\)
对 \(\frac{1}{4}arcsin(\frac{2}{ch^{2}\theta}-1)\) 求导，就会得到 \(- \frac {1}{2ch\theta}\) ，也就是 \(- \frac{arcsin(th\theta)}{2}\) 的导数，这样一来，上式可以简化为：
\(\int_{}{} \frac{1}{ch^{3}\theta}d\theta = \frac {sh \theta}{2ch^{2}\theta}+\frac{arcsin(th\theta)}{2}\)
到了这里，题目已经完成，相应的积分公式也推出来了，但我又对一般形式十分感兴趣，又接着求了 \(\int_{}{}\frac{1}{ch^{4}\theta}d\theta\) ，把它们都列在一起：
\(\int_{}{} \frac{1}{ch\theta}d\theta = arcsin(th\theta)\)
\(\int_{}{}\frac{1}{ch^{2}\theta}d\theta = \frac{sh\theta}{ch\theta}\)
\(\int_{}{}\frac{1}{ch^{3}\theta}d\theta = \frac {sh \theta}{2ch^{2}\theta}+\frac{arcsin(th\theta)}{2}\)
\(\int_{}{} \frac{1}{ch^{4}\theta}d\theta = \frac{sh\theta}{3ch^{3}\theta}+\frac{2}{3}\frac{sh\theta}{ch\theta}\)
推到这里，就可以看到一点规律了，\(\int_{}{}\frac{1}{ch^{3}\theta}d\theta\) 很明显和 \(\int_{}{}\frac{1}{ch\theta}d\theta\) 有关，\(\int_{}{}\frac{1}{ch^{4}\theta}d\theta\) 和 \(\int_{}{}\frac{1}{ch^{2}\theta}d\theta\) 也有关。每一项的系数也与 \(ch\theta\) 的次数有很直接的关系，那就猜想：
\(\int_{}{}\frac{1}{ch^{n}\theta}d\theta = \frac{1}{n-1}(\frac{sh\theta}{ch^{n-1}\theta}+(n-2)\int_{}{}\frac{1}{ch^{n-2}\theta}d\theta)\) \(n\geq 3\)
证明很容易，直接微分就是了。
这个积分公式与 \(\int_{}{}sin^{n}xdx\) 有着相似之处，两者会不会有什么联系呢？